Digital Library of Mathematical Functions
The Gamma Function -- Integrals

### Integrals

1 2 π ⅈ ∫ c - ∞ ⅈ c + ∞ ⅈ Γ ( s + a ) Γ ( b - s ) z - s ⅆ s = Γ ( a + b ) z a ( 1 + z ) a + b
ℜ ( a + b ) > 0 , - ℜ a < c < ℜ b , | ph z | < π .
1 2 π ∫ - ∞ ∞ | Γ ( a + ⅈ t ) | 2 ⅇ ( 2 b - π ) t ⅆ t = Γ ( 2 a ) ( 2 sin b ) 2 a
a > 0 , 0 < b < π .

##### Barnes's Beta Integral

1 2 π ∫ - ∞ ∞ Γ ( a + ⅈ t ) Γ ( b + ⅈ t ) Γ ( c - ⅈ t ) Γ ( d - ⅈ t ) ⅆ t = Γ ( a + c ) Γ ( a + d ) Γ ( b + c ) Γ ( b + d ) Γ ( a + b + c + d )
ℜ a , ℜ b , ℜ c , ℜ d > 0

##### Ramanujan's Beta Integral

∫ - ∞ ∞ ⅆ t Γ ( a + t ) Γ ( b + t ) Γ ( c - t ) Γ ( d - t ) = Γ ( a + b + c + d - 3 ) Γ ( a + c - 1 ) Γ ( a + d - 1 ) Γ ( b + c - 1 ) Γ ( b + d - 1 )
ℜ ( a + b + c + d ) > 3 .

##### de Branges-Wilson Beta Integral

1 4 π ⁢ ∫ - ∞ ∞ ∏ k = 1 4 Γ ( a k + ⅈ t ) Γ ( a k - ⅈ t ) Γ ( 2 ⅈ t ) Γ ( - 2 ⅈ t ) ⅆ t = ∏ 1 ≤ j < k ≤ 4 Γ ( a j + a k ) Γ ( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 )
ℜ ( a k ) > 0 , k = 1 , … , 4 .